Geometria a luat nastere din nevoi practice, in special din probleme legate de masurarea pamantului si de constructii la vechii egipteni si la chinezi. Aceasta faza numita faza empirica dureaza pana la anul 600 i.e.n. Adevarul geometric are un caracter experimental; de exemplu, egiptenii cunosc si folosesc practic faptul ca triunghiul de laturi 3, 4, 5 este dreptunghic; acest fapt este stabilit prin verificari (masuratori) si nu prin deductii logice; de asemenea, faptul nu este incadrat unei legi mai generale (care va fi cunoscuta mai tarziu: teorema lui Pitagora). Adevarul geometric este detinut de o grupa de oameni restransa (preotii) care are un caracter secret; este transmis ca o formula miraculoasa – alaturi de alte cunostinte empirice sau de conceptii mistice – de la o generatie la alta de preoti.

 

         Faza preeuclidiana, isntre 600 si 300 i.e.n.:

In aceasta perioada functioneaaza in Elada o serie de „scoli” asociatii de oameni cu preocupari comune, printre care a lui Thales din Milet, a lui Pitagora, Platon. Deosebirea calitativa fata de perioada anterioara este adevarul stabilit prin rationament logic, deci are un caracter riguros si mai general.

Alte caracteristici: se mentine caracterul secret (in cadrul unei scoli); unele interpretari mistice ale adevarului matematic (in special la Pitagora) entuziasm, pasiuni in cercetarea adevarului (de exemplu in scoala lui Pitagora cand se descopera teorema despre poliedrele regulate, se sacrifica zeilor cel mai frumos taur al comunitatii…).

 

         Faza euclidiana intre 300 si 200 i.e.n.:

Euclid scrie celebra carte „Elementele lui Euclid” in care aduna toate faptele geometrice cunoscute si le sistematizeaza, asezand la baza definitii si axiome.

Caracteristicile geometriei in aceasta perioada sunt:

  geometria devine un sistem logic deductiv, unitar;

  adevarul este eliberat de misticism;

  rigoare in demonstratii (care vine din faptul că se construieste un sistem de ansamblu in care se distinge cu grija deosebirea dintre axioma – adevar admis fara demonstratie şi teorema; rigoarea este posibila, pentru ca a fost acumulata o experienta de gandire suficienta, s-a creeat o maturitate matematica);

  geometria se adreseaza unor mase mai largi (ea se profeseaza in „Universitatea” din Alexandria, unde accesul este oarecum liber – nu in scoli inchise, in care este o conditie a admiterii este legamantul pastrarii secretului);

  apar si preocupari de matematica – caracter legat de existenta unui auditoriu mai larg; astfel de preocupari se concretizeaza si intr-o carte speciala a lui Euclid (Pseudaria), dar chiar sistematizarea dintre elemente este legata de aceasta preocupare.

 

          Faza de stagnare pana la aproximativ anul 1600:

In aceasta perioada, se adauga unele adevaruri noi, ele sunt de mica importanta si sunt incadrate sistemului de gandire din „Elemente”.

 

          Faza moderna:

Incepand cu secolul al XVII-lea datorita conditiilor sociale si unor progrese de ordin tehnic, stiinta paseste pe un drum nou si realizeaza progrese uriase. In geometrie progresul se realizeaza pe doua cai:

  se pun probleme si se creiaza metode esentiale, noi fata de geometria euclidiana: apare geometria analitica (studiul proprietatilor geometrice cu ajutorul calcului algebric), geometria proiectiva de perspectiva si de constructii pe de alta parte un punct de vedere mai larg in considerarea geometriei; dupa crearea analizei apar probleme de legatura intre geometrie si analiza (geometria diferentiala) etc.

   o a doua cale de progres consta in aprofundarea si perfectionarea sistemului lui Euclid. Acest sistem prezinta doua aspecte principale:

                        I.      Axioma palalelelor nu era le fel de avidenta ca celelalte axiome, dar nici nu puteaa fi demonstrata pe baza celorlalte – numeroase incercari in aceasta perioada  (in special in operele lui Saccheri, Lambert) esueaza. In 1928 apare geometria neeuclidiana creata de Lobecevschi (si independent de el, de Bolyai), in care se arata ca putem lua ca punct de plecare  o alta axioma a paralelelor. Prin axioma nu mai trebuie inteles un adevar „evident prin el insusi” ci o propozitie care se admite fara demonstratie. Geometria lui Lobacevschi sta la baza unor noi dezvoltari ale geometriei, care au servit si unor teorii noi in fizica (teoria relativitatii). Ea pregateste terenul si pentru axiomatica.

                     II.      Un al doilea aspect al geometriei lui Euclid consta in faptul ca rigoarea – desi foarte avansata pentru timpul in care a aparut nu era totusi de acord cu punctul de vedere modern. Pe de o parte, exista la Euclid definitii care nu se folosesc in mod esential in desfasurarea rationamentului (de exemplu definitia „punctul este ceea ce nu are parti”); pe de alta parte, in unele rationamente se strecoara afirmatii bazate pe considerarea figurii, deci pe intuitie si nu pe stricta logica. In jurul anului 1900, Hilbert construieste o geometrie, in care aceste aspecte sunt remediate; prin faptul ca axiomele aaau fost cu grija delimitate, ea se numeste axiomatica geometriei. Axiomatica reprezinta un nou salt in procesul de abstractizare a realitatii (pentru a o putea patrunde mai adanc); aici toate rationamentele sunt strict logice, apelul in mod esential la figura este complet eliminat (figurile se folosesc numai cu rol psihologic; pentru a ajuta memoria si atentia, dar rationamentul poate fi expus fara nici o referire la figura.